调整法证明广义均值不等式

如题。

已知：对于$i=1,2\dots n,\;\alpha_i>0,\;x_i>0,\;\sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1$

证明：

$$f(t)=\begin{cases} (\sum_{i=1}^{n}\alpha_ix_i^t)^{\frac{1}{t}}, & t\neq 0\\ \prod _{i=1}^{n}x_i^{\alpha_i}, & t = 0 \end{cases}$$

在$\mathbb{R}$上是$t$的非减函数。

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