利用洛必达求数列极限
设 0 < 𝑥1 < 1, 𝑥𝑛+1 = sin 𝑥𝑛，证明： lim 𝑛→∞ √𝑛 𝑥𝑛 =√3
$$设\ 0 < x_{1} < 1,\ x_{n + 1} = \sin x_{n}$$$$证明：\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt{n}{\ x}_{n}} = \sqrt{3}$$$$证：要求\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt{n}{\ x}_{n}}，等价于求\lim_{n \rightarrow \infty}{n\ x_{n}^{2}}，$$$$等价于求\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{\frac{1}{x_{n}^{2}}}$$$$对于数列x_{n}，唯一的稳定点只有0 = \sin 0$$$$不难得到\lim_{n \rightarrow \infty}{\ x}_{n} = 0$$$$因此\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{x_{n}^{2}} = \infty$$$$同时显然有\lim_{n \rightarrow \infty}\ n = \infty$$应用离散形式的洛必达法则