指数三角函数幂级数求和化简
今天刷电动力学的时候，作者用分离变量法解出了一个位势方程，并声称解“明显”由指数三角函数幂级数求和化简为arctan形式，为什么呢？
今天刷电动力学的时候，作者用分离变量法解出了一个位势方程，并 声称解"明显"可以化简成以下形式。
$$V(x,y)=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{i=1,3,...}^{\infty}\frac{1}{n}\exp{-n\pi x/a}\sin{\left(\frac{n\pi y}{a}\right)} =\frac{2V_0}{\pi}\arctan{\left(\frac{\sin{\pi y/a}}{\sinh{\pi x/a}}\right)}$$然而作为一名辣鸡读者，看着一点都不显然。于是推了一下。
先试了对后面的$\arctan$进行展开，结果出来$\sin$和$\sinh$的幂次，没法处理，卒。
但是仍然可以从$\arctan$的展开式入手，众所周知（其实我也是百度查的）
$$\arctan{x}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots$$和左端进行对比，发现已经有了$1/n$。然后试着凑幂次。指数部分可以拎出一个$n$来作幂次， 但是三角函数不行。然而想到可以利用复变函数把三角函数化成指数，并且形式类似也可拎出一个$n$来。 这样，幂指数也解决了。
此时还差一个符号。在展开式中各项是正负交替的，原式则是全正。有没有什么办法把展开式中的负号 全变正呢？代$-x$试试，发现没用，因为都是奇次。注意到符号的周期其实是指数增长的4倍，不难想到 可以代$ix$凑。这次刚好——
$$\arctan{ix}=i\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)$$最后只需要将多出来的$i$除掉即可。于是可以开始按照展开式把它收回去。注意，一开始最好直接用 共轭消除法将$\sin$化为指数，而不要加一项$\cos$最后取虚部或实部。否则就会万分艰难，卡在$\mathrm{Re}(\arctan(sth))$上。 （论我为啥推了一个下午还没推出来）
$$\begin{aligned} V(x,y)&=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{i=1,3,...}^{\infty}\frac{1}{n}\exp{-n\pi x/a}\sin{\left(\frac{n\pi y}{a}\right)}\\ &=\frac{4V_0}{\pi}\frac{1}{2i}\left( \sum_{i=1,3,...}^{\infty}\frac{1}{n}\exp{-n\pi x/a}\exp{n\pi iy/a}-\sum_{i=1,3,...}^{\infty}\frac{1}{n}\exp{-n\pi x/a}\exp{-n\pi iy/a} \right)\\ &=-\frac{2iV_0}{\pi}\left( \sum_{i=1,3,...}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\exp{\frac{\pi}{a}(iy-x)}\right)^n-\sum_{i=1,3,...}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\exp{\frac{\pi}{a}(-iy-x)}\right)^n\right)\\ &=-\frac{2V_0}{\pi}\left(\arctan{\left(i\exp{\frac{\pi}{a}(iy-x)}\right)}-\arctan{\left(i\exp{\frac{\pi}{a}(-iy-x)}\right)}\right) \end{aligned}$$此时可利用公式合并。这个其实就是和角公式的应用，可以手动推一下。
$$\begin{aligned} \arctan a - \arctan b&=\arctan (\tan (\arctan a - \arctan b))\\ &=\arctan \left(\frac{a-b}{1+ab}\right) \end{aligned}$$于是得到
$$\begin{aligned} V(x,y)&=-\frac{2V_0}{\pi}\arctan\left( i\frac{\exp{\frac{\pi}{a}(iy-x)}-\exp{\frac{\pi}{a}(-iy-x)}}{1-\exp{\frac{\pi}{a}(iy-x)}\exp{\frac{\pi}{a}(-iy-x)}}\right)\\ &=\frac{2V_0}{\pi}\arctan\left( \frac{\exp{-\pi x/a}}{i}\frac{\exp{\frac{\pi}{a}iy}-\exp{-\frac{\pi}{a}iy}}{1-\exp{\frac{\pi}{a}(-2x)}}\right)\\ &=\frac{2V_0}{\pi}\arctan\left(\frac{1}{i}\frac{\exp{\frac{\pi}{a}iy}-\exp{-\frac{\pi}{a}iy}}{\exp{\frac{\pi}{a}x}-\exp{-\frac{\pi}{a}x}}\right)\\ &=\frac{2V_0}{\pi}\arctan{\left(\frac{\sin{\pi y/a}}{\sinh{\pi x/a}}\right)} \end{aligned}$$现在看看还是挺显然的嘿嘿嘿。不过我们能学到什么呢？
一是用分离变量法解出题目，得到级数解后，可以尝试着将其化简，利用其中的系数、指数特征，和已有的函数展开式进行对比，以获得可能的线索。 二是现有的展开式和得到的级数解有一些细微差别时，可以代诸如$-x$，$ix$来尝试消除差异。三是将三角函数化为指数函数时，最好使用共轭消去法， 避免引入$\mathrm{Re},\mathrm{Im}$函数造成推导困难。
感谢某孙学长2333
