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对数学手册上∇×(ϕu)公式的纠错，以及展开公式的方法。

一个很简单的问题。请在以下两个选项中选出正确的一项。

对于一般矢量场$\bm{u(x,y,z)}$和标量场$\phi(x,y,z)$而言，

1. $$\nabla\times(\phi \bm{u})=(\nabla\phi)\times \bm{u}+\phi( \nabla \times \bm{u})$$
2. $$\nabla\times(\phi \bm{u})=\bm{u}\times(\nabla\phi) + \phi( \nabla \times \bm{u})$$

纠错

正确答案是A，但是数学手册上写的是B。

小声吐槽：难以想象我就跟着数学手册错了一年多。

于是去年在写数学分析期末复习的时候，搬运公式也错了。现在已经把原错误纠正。

方法

Critical thinking

就算有解决问题的能力，首先也要发现问题。拿到公式后可以和已有的知识、别的书对比一下， 也可以自己算一遍，把公式的来龙去脉弄明白那是最好。等到应用公式发现和答案对不上， 则很难会怀疑到公式本身上去。因此最好保证拿到的公式都是正确的。

另一方面，使用这些已有的结论会加快速度，但是需要承担一定的记错公式或公式本身就不对的风险。 如果采用更为基本的原理，从基本定义开始推导，则虽然慢但正确性能获得一定保障。

行列式算法

对于一般同学可以直接用定义验证。

$$\nabla\times(\phi \bm{u})= \begin{vmatrix} \bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ \phi u_x&\phi u_y&\phi u_z \end{vmatrix}$$

只需要考虑$\bm{i}$方向的分量，其他类似。

$$\nabla\times(\phi \bm{u})= \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ \phi u_y&\phi u_z \end{vmatrix} \bm{i}+\dots$$

二阶行列式的值为

$$\begin{aligned} &=\frac{\partial (\phi u_z)}{\partial y}-\frac{\partial (\phi u_y)}{\partial z}=\frac{\partial \phi}{\partial y}u_z+\frac{\partial u_z}{\partial y}\phi-\frac{\partial \phi}{\partial z}u_y-\frac{\partial u_y}{\partial z}\phi\\ &=\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}\phi-\frac{\partial u_y}{\partial z}\phi\right)+\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}u_z-\frac{\partial \phi}{\partial z}u_y\right)\\ &=\phi \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ u_y&u_z \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial y}&\frac{\partial \phi}{\partial z}\\ u_y&u_z \end{vmatrix} \end{aligned}$$

这两项正分别是$\phi(\nabla\times \bm{u})$和$(\nabla\phi)\times \bm{u}$的$i$分量。写出相应的三阶行列式即可简单验证。

求和约定算法

通过引入Levi-Civita符号$\varepsilon_{ijk}$，当$ijk$是$123$的偶置换是取$1$，奇置换时取$0$，$i,j,k$有任意两个相等时取$0$， 可方便地计算旋度。（$x_i=x,y,z$，当$i=1,2,3$）

$$\begin{aligned} \nabla\times(\phi \bm{u})&=\frac{\partial}{\partial x_i}\bm{e}_i\times(\phi u_j\bm{e}_j)\\ &=\frac{\partial (\phi u_j)}{\partial x_i}\bm{e}_k\varepsilon_{ijk}\\ &=\left(\frac{\partial \phi}{\partial x_i}u_j+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\phi\right)\varepsilon_{ijk}\bm{e}_k\\ &=\frac{\partial \phi}{\partial x_i}u_j\varepsilon_{ijk}\bm{e}_k+\phi\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\varepsilon_{ijk}\bm{e}_k\\ &=\left(\frac{\partial \phi}{\partial x_i}\bm{e}_i\right)\times u_j\bm{e}_j+\phi\left(\frac{\partial}{\partial x_i}\bm{e}_i\right)\times u_j\bm{e}_j\\ &=(\nabla \phi)\times \bm{u}+\phi (\nabla\times \bm{u}) \end{aligned}$$

和矢量叉乘$\bm{a}\times \bm{b}=a_ib_j\varepsilon_{ijk}\bm{e}_k$进行比较，立即得到上面的第一项为$(\nabla \phi)\times \bm{u}$。