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一道题，已知 f 在 (a, +∞) 上可导，且 limx→+∞ f(x) + f ′(x) = b（有限或为无穷），求证limx→+∞ f(x) = b

已知$f$在$(a,+\infty)$上可导，且$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)+f'(x)=b$（有限或为无穷），求证$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=b$

证明

如果有

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty}\exp{x}f(x) = \infty$$

那么利用洛必达巧妙证明

$$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\exp{x}f(x)}{\exp{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\exp{x}(f(x))+f'(x))}{\exp{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)+f'(x) \end{aligned}$$

而如果

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty}\exp{x}f(x) < \infty$$

那么可知$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$，进而$\lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x)=0$，等式仍然成立。