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对于不便用自变量x表达函数及其导数，而方便用y表达的情况较为有用。

$$ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) $$

公式：

$$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)$$

证：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$$

例子

$$y=1+xe^y\qquad \text{求 }\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$$

两边求导得

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^y+xe^y\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

于是

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{e^y}{1-xe^y}$$

继续两边对$x$求导会比较麻烦,注意到

$$1-xe^y=2-(1+xe^y)=2-y$$

有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{e^y}{2-y}$$

应用公式，得

$$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{e^y}{2-y}\right)=\frac{e^y}{2-y}\cdot\frac{e^y(2-y)+e^y}{(2-y)^2}=\frac{e^{2y}(3-y)}{(2-y)^3}$$

小结

此公式对于不便用自变量$x$表达函数及其导数，而方便用$y$表达的情况较为有用。

此公式可进一步推得

$$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left[ \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \right]$$

请读者自行验证。

最后感谢船的人工ocr。