https://vortexer99.github.io/tags/combinatorics/CombinatoricsHugoBlox Kit (https://hugoblox.com)en-usFri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/media/icon.svghttps://vortexer99.github.io/tags/combinatorics/https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/no1research/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/no1research/<p>组合数学，很神奇吧。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/10/dct/Thu, 18 Oct 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/10/dct/<p>这个定理是在高中就发现的，并且逐渐也在三个排列组合的应用中嗅到了它的独特 价值和玄幻的内在含义。然而定理本身一直没有证明出来。直到一年多后有了一些经验 的积累，机缘巧合之下（上概率论与数理统计课）又翻起了这个定理并成功的将其证明。 证明的过程并不一帆风顺，关键部分还是靠猜出来的。这当然十分有意思，因此我把和 此定理相关的所有内容都写下来。先呈现完整的证明过程，再说一说其中的技巧是如何 想到的，接着再举出三个应用，最后探讨一下其中的原理。</p> <p>没错，定理名字又是我自己取的，因为我还没在什么资料上见过。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/08/arrangeprob/Wed, 08 Aug 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/08/arrangeprob/<p>设有 N 个数，从 1, 2, &hellip;, N 中取值（可重复可不用）；它们按顺序排成一列，要求在出现 2 之前必须出现 1，在 3 之前必须出现 2，以此类推。试问共有多少种排列方式？</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/playlist/Tue, 07 Aug 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/playlist/<p>有这么一种音乐播放器，它有一个最近播放列表，其中总共能保存 n 首歌。当选择某一首歌曲播放时，播放器将删除最近播放列表中第 n 首歌，并将第 1 至第 n − 1 首歌向后移一个排位，最后将选择播放的歌曲放入第一个排位，得到新的最近播放列表。注意，同一首歌曲能在最近播放列表中出现多次。</p> <p>这个音乐播放器还有一种随机播放功能，即对一个有 n 首歌曲的播放列表，它能以每首歌 1/n 的概率抽取其中一首播放。重复的歌曲是单独计算的，即如果一首歌出现了m 次，总共就有 m/n 的概率播放这首歌。</p> <p>我们的问题是，假设最初最近播放列表中有 n 首不同的歌曲，现在对最近播放列表进行随机播放操作。那么经过多长时间（即多少次播放）之后，最近播放列表中会仅剩下一首歌？每一首歌被剩下的概率又是多少？如果初始情况不是每首歌只出现一次，又会怎样呢？</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/05/artofsum/Tue, 22 May 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/05/artofsum/<p>关于求和记号Σ的基本定义，性质的（比较严格的）展开讨论。</p> <p>是在我自己写的东西里面非常喜欢的一篇，把基础定义写明白了，各种定理就会自己往上发展出来。这一篇后来想用更严格的方式重新写一遍，但是可惜后来没有动笔。在那一套体系下，Σ被定义为一个集合M，一个从集合M到群G的函数和群G上的某一种运算的三元组到一个数的映射。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/xuanshang/Mon, 08 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/xuanshang/<p>最早是在公众号上发我感兴趣的问题，看看有没有人能解答的，后来开摆了。包括以下几个问题</p> <ol> <li>证明幂可以线性表达阶乘（已有解）</li> <li>证明第二类斯特林数矩阵的右上角均为零</li> <li>倒数的对称多项式之和如何表达？（已有解）</li> <li>证明下降多项式的二项式定理</li> <li>找方程f(f(x))=x^2+x的解</li> <li>为了提高经济效益，某商场设置了一台抽奖机器，规则如下：（1）每一次抽奖的初始中奖概率为零。（2）每投入一个币，当次中奖概率就增加 α。（3）一个人抽奖的次数和硬币数不限，机器能吞的硬币不限。为了省钱，是否有合理的投币策略？（直觉上倾向于都一样，但是还没证明）</li> </ol> <p> </p>