https://vortexer99.github.io/tags/linear-algebra/Linear AlgebraHugoBlox Kit (https://hugoblox.com)en-usMon, 24 Mar 2025 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/media/icon.svghttps://vortexer99.github.io/tags/linear-algebra/https://vortexer99.github.io/posts/2025/03/liouville/Mon, 24 Mar 2025 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2025/03/liouville/<p> </p> <p>1 Liouville 方程的导出</p> <p>1.1 Liouville 方程回顾及基于输运定理的导出</p> <p>1.2 基于 Liouville 定理导出输运定理</p> <p>1.3 Liouville 定理的导出</p> <p>2 Liouville 方程的解及其验证</p> <p>2.1 Liouville 方程解的导出：特征线法</p> <p>2.2 Liouville 方程解的验证</p> <p>3 概率密度性质的讨论：基于 Liouville 方程的解</p> <p>3.1 从概率密度的视角理解吸引子</p> <p>3.2 概率密度增加一定意味着吸引子吗？</p> <p>3.3 耗散系统中概率密度一定增大吗？</p> <p>3.4 概率密度增大，与维数，自由度的随想</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2024/09/liouville/Wed, 18 Sep 2024 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2024/09/liouville/<p> </p> <p>1 Liouville 方程</p> <p>1.1 Liouville 方程的导出分析</p> <p>2 线性自治动力系统的性质讨论</p> <p>2.1 N=1时</p> <p>2.2 N=2时</p> <p>2.3 N=3时</p> <p>2.4 N=4时</p> <p>2.5 线性系统的 Liouville 方程解的性质</p> <p>3 线性情形的具体例子</p> <p>3.1 最简单的情况</p> <p>3.2 二阶系统</p> <p>3.3 四阶系统</p> <p>4 对线性自治系统的小结</p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/manquntongtai/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/manquntongtai/<p>一道题，证明自然同态 Z → Zp 诱导的群同态 SLn(Z) → SLn(Zp) 是满同态，其中 p 是素数。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/no1research/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/no1research/<p>组合数学，很神奇吧。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/05/evap/Thu, 02 May 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/05/evap/<p>矩阵不变量为何可以通过矩阵对任意不共面矢量uvw的运算推出？特征值与特征分解。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/lanote/Sun, 15 Jul 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/lanote/<p>正如你们在本页顶端所见，这本讲义是我大一下学期（2017-2018 春季学期）在中国科 学院大学学习线性代数课程时整理的课堂讲义。根据我选择的班级，此门课程是由来自中科 院数学与系统科学研究院的李子明研究员主讲。李老师讲课认真细致，在课后还会将手写的 电子版课堂讲义上传以供大家复习使用。</p> <p>不过，手写版的讲义使用起来或多或少有一些不便。而我恰好有些 Word 输入公式和排 版的经验。有一次我为了防止在课上犯困，尝试着带上电脑，在课堂上将所讲的内容做成 Word 文档并导出成 PDF 格式，发现效果确实不错，不仅没有犯困，听课也更认真了。于 是，接下来直到期末我便利用课上的时间将课堂内容录成初稿，课下再对着李老师上传的电 子版讲义校对，同时修复了一些笔误，在步骤跳跃的地方补充了一些自己的理解。同时抽空 将本学期之前的内容也文档化，并征得李老师同意，将初步成品放在公众号上与大家分享。 在最后整理时，将出现的各定理等取了一句话描述的名字，并且在书末整理附上特殊符号 表。这些确实是艰辛枯燥的工作，但作为一种复习的方式，坚持下来也还是有不少收获。 同时值得一提的是线性代数课程配有每周一节的习题课。习题课分两个班，由助教老师 上课。我所上的习题课是由张秉宇老师主讲。张老师风趣幽默，数学功力深厚，讲评习题、 整理知识点、拓展内容对于学习线性代数都十分有价值，并且也很贴心地每周上传手写的电 子版习题课讲义。后来我认识到，习题课的内容也是线性代数课程不可或缺的一部分，习题 的解答与拓展和课堂所学内容相辅相成。因此，虽然原先计划是课堂讲义，但我认为还是应 当加入习题课的部分。于是，我在张老师的习题课讲义中选取了最有价值的一系列题目和知 识点，将其文档化并附在正课讲义的后面。</p> <p>将手写版讲义文档化之后，大约有以下几点好处： 1、支持搜索内容； 2、美观性、可读性加强； 3、消除了大部分电子讲义中的笔误； 4、占用的存储空间大大减小，翻阅也更方便； 当然，囿于本人时间精力和水平能力有限，也有以下一些不足与遗憾之处： 1、未能在目录及引用的各处添加超链接； 2、未能整理杜昊老师的习题课讲义； 3、由于时间较为仓促，可能有一些疏漏之处； 4、所取的定理等的名字可能有描述不到位的情况。 使用这本讲义的同学需要注意以下几点： 1、书中定理等的名字大部分是依我对这部分内容的理解而取而非李老师所取； 2、书中定理等的序号在尽量保持与原讲义相同的情况下作了调整以规范； 3、习题集选中题目的编号 A-B，A 为习题课的周次，注意与作业的次数区分，B 仅 为一次习题课中内容的编号，与实际的讲课顺序、习题顺序均无关； 4、虽然目录没有超链接，但是我整理了 PDF 的书签（或在一些软件中称为大纲）， 可以通过这一功能或通过目录的页码来进行快速跳转。</p> <p>最后，感谢李子明老师、张秉宇和杜昊两位助教老师一学期的辛勤付出，感谢所有为完 成这本讲义整理集提供各方面帮助的热心同学们。</p> <p>庄逸 2018 年 7 月 15 日</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/reviewla/Tue, 23 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/reviewla/<p>稍微整理的一些大一上下半学期线性代数复习知识。</p> <p>求证：𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥3 + 1 在 Q[𝑥]中不可约。</p> <p>求证：Z[√−2] = {𝑎 + 𝑏√−2|𝑎, 𝑏 ∈ Z}是欧几里得环。</p> <p>设𝐺为有限群，有二阶自同构𝑓（𝑓2为恒等映射），没有非平凡的不动点，即𝑎 ≠ 𝑒 ⇒ 𝑓(𝑎) ≠ 𝑎，证明𝐺为阿贝尔群。</p> <p>设𝐹是𝐾的扩域，𝑢 ∈ 𝐹且𝑢是𝐾上的代数元，求证𝐹[𝑢]是域。</p> <p>凯莱定理，环和整环的关系，拉格朗日/牛顿插值公式，斯图姆定理，艾森斯坦既约性判别法，霍纳法。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/xuanshang/Mon, 08 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/xuanshang/<p>最早是在公众号上发我感兴趣的问题，看看有没有人能解答的，后来开摆了。包括以下几个问题</p> <ol> <li>证明幂可以线性表达阶乘（已有解）</li> <li>证明第二类斯特林数矩阵的右上角均为零</li> <li>倒数的对称多项式之和如何表达？（已有解）</li> <li>证明下降多项式的二项式定理</li> <li>找方程f(f(x))=x^2+x的解</li> <li>为了提高经济效益，某商场设置了一台抽奖机器，规则如下：（1）每一次抽奖的初始中奖概率为零。（2）每投入一个币，当次中奖概率就增加 α。（3）一个人抽奖的次数和硬币数不限，机器能吞的硬币不限。为了省钱，是否有合理的投币策略？（直觉上倾向于都一样，但是还没证明）</li> </ol> <p> </p>