https://vortexer99.github.io/topics/mathematics/MathematicsHugoBlox Kit (https://hugoblox.com)en-usMon, 24 Mar 2025 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/media/icon.svghttps://vortexer99.github.io/topics/mathematics/https://vortexer99.github.io/posts/2025/03/liouville/Mon, 24 Mar 2025 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2025/03/liouville/<p> </p> <p>1 Liouville 方程的导出</p> <p>1.1 Liouville 方程回顾及基于输运定理的导出</p> <p>1.2 基于 Liouville 定理导出输运定理</p> <p>1.3 Liouville 定理的导出</p> <p>2 Liouville 方程的解及其验证</p> <p>2.1 Liouville 方程解的导出：特征线法</p> <p>2.2 Liouville 方程解的验证</p> <p>3 概率密度性质的讨论：基于 Liouville 方程的解</p> <p>3.1 从概率密度的视角理解吸引子</p> <p>3.2 概率密度增加一定意味着吸引子吗？</p> <p>3.3 耗散系统中概率密度一定增大吗？</p> <p>3.4 概率密度增大，与维数，自由度的随想</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2024/09/liouville/Wed, 18 Sep 2024 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2024/09/liouville/<p> </p> <p>1 Liouville 方程</p> <p>1.1 Liouville 方程的导出分析</p> <p>2 线性自治动力系统的性质讨论</p> <p>2.1 N=1时</p> <p>2.2 N=2时</p> <p>2.3 N=3时</p> <p>2.4 N=4时</p> <p>2.5 线性系统的 Liouville 方程解的性质</p> <p>3 线性情形的具体例子</p> <p>3.1 最简单的情况</p> <p>3.2 二阶系统</p> <p>3.3 四阶系统</p> <p>4 对线性自治系统的小结</p>https://vortexer99.github.io/posts/2022/05/logic/Wed, 04 May 2022 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2022/05/logic/<p>《密码学史》课程作业。是我很感兴趣的一个逻辑问题。</p> <p>1 引言 2 认知模态逻辑 2.1 简介与基本运算符 2.2 基本公理 2.3 群体知识 3 归纳谜题 3.1 归纳谜题的总体特征 3.2 引言中问题的解析：Common Knowledge 的力量 3.3 其他类似归纳谜题的例子 4 思考与启示 4.1 认知陷阱：Facts &amp; Opinions 4.2 隐式信息：“我不知道”=“我知道” 4.3 达克效应：不知道自己知道 4.4 推理成本：时间与脑力 4.5 已读回执：线下交流与线上的区别 4.6 战术推理：猜疑链 4.7 人工智能：动态认知逻辑 5 结语 6 附录 6.1 陶哲轩博客原文 6.2 引言中命题的证明过程</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2022/01/meso/Sat, 01 Jan 2022 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2022/01/meso/<p>2021年秋季学期，基于《中小尺度天气学》课程中高守亭老师，冉令坤老师主讲部分内容整理而成。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2021/06/thesis/Wed, 02 Jun 2021 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2021/06/thesis/<p>2020年夏到2021年夏期间，在中科院力学研究所王展老师指导下完成的毕业设计。</p> <p>十分感谢王老师。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2021/01/internalwave/Tue, 12 Jan 2021 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2021/01/internalwave/<p>2019年夏到2020年冬期间，在中科院力学研究所王展老师指导下完成的科研实践，关于海洋内波致流输运能力的理论分析推导，应用到KdV，MCC，DJL三种具体内波模型，探讨其致流输运能力。</p> <p>十分感谢王老师。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/convtrans/Sat, 01 Feb 2020 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/convtrans/<p>2020年春季学期于UCB访学时，上Convective Transport课程所整理的笔记。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/envflow/Sat, 01 Feb 2020 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/envflow/<p>2020年春季学期于UCB访学时，上Environmental flow课程所整理的笔记。</p> <p>可惜因为疫情，只旁听了半截。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/heattrans/Sat, 01 Feb 2020 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/heattrans/<p>2020年春季学期于UCB访学时，上Heat Transfer课程所整理的笔记。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/nonlinear/Sat, 01 Feb 2020 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2020/02/nonlinear/<p>2020年春季学期于UCB访学时，上Nonlinear Dynamics and Chaos课程（Decal）所整理的笔记。</p> <p>整理完善度较低。</p> <p>Much thanks to Jonas Katona (and other &ldquo;teachers&rdquo;), who designed the whole course but is only one year elder than me.</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2020/01/light-tracer/Sun, 05 Jan 2020 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2020/01/light-tracer/<p>《自动控制原理》课程作业。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2020/01/particles/Fri, 03 Jan 2020 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2020/01/particles/<p>《系统工程与工程管理概论》课程作业。在引力模型下尝试不同的最优化方法，分析结果。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/10/second-order-sys/Tue, 29 Oct 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/10/second-order-sys/<p>《自动控制原理》课程作业。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/09/sun/Sun, 08 Sep 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/09/sun/<p>在空间中考察太阳与地球，根据定义，通过简单的数学方法得出计算昼长和太阳方位的公式，从而计算出给定地点时间的昼长及太阳方位等要素，进而导出一些常见结论。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/09/thermal-dyn/Fri, 06 Sep 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/09/thermal-dyn/<p>热力学中各类偏导数的推导方法，如何从最基本的偏导数导出其他偏导数，应用于迈耶公式，内能公式，TdS方程等。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/hospital/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/hospital/<p>一道题，已知 f 在 (a, +∞) 上可导，且 limx→+∞ f(x) + f ′(x) = b（有限或为无穷），求证limx→+∞ f(x) = b</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/manquntongtai/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/manquntongtai/<p>一道题，证明自然同态 Z → Zp 诱导的群同态 SLn(Z) → SLn(Zp) 是满同态，其中 p 是素数。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/no1research/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/no1research/<p>组合数学，很神奇吧。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/tzf/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/tzf/<p>如题。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/yhs/Fri, 16 Aug 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/08/yhs/<p>对于不便用自变量x表达函数及其导数，而方便用y表达的情况较为有用。 </p> $$ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) $$<p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/07/gpacalc-math/Tue, 16 Jul 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/07/gpacalc-math/<p>GPA计算器的理论基础，GPA的边际收益如何计算，以及如果有人号称某门课给他提了多少GPA，如何反推他的GPA。</p> <p> <br> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/06/minsqucur/Wed, 26 Jun 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/06/minsqucur/<p>设绕 x 轴旋转的曲线，在 xy 平面内由函数 y = f(x) 和两端点决定，求曲面面积最小值。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/06/boltzmann/Wed, 26 Jun 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/06/boltzmann/<p>《热力学与统计物理》课程作业，老师给了一些题目让学生来讲，我负责玻尔兹曼积分微分方程。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/05/mistake/Sun, 12 May 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/05/mistake/<p>对数学手册上∇×(ϕu)公式的纠错，以及展开公式的方法。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/05/evap/Thu, 02 May 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/05/evap/<p>矩阵不变量为何可以通过矩阵对任意不共面矢量uvw的运算推出？特征值与特征分解。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/03/nabla/Mon, 25 Mar 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/03/nabla/<p>在套用向量运算规则对nabla算子进行计算时，需要注意哪些问题？</p> <p> </p> <h2 id="小结">小结</h2> <h3 id="什么时候-nabla-算符不能简单套用向量运算规则">什么时候 nabla 算符不能简单套用向量运算规则？</h3> <p>对于一个完整的表达式（v · ∇ 等不算，它们只能作为一个算符），如果牵扯到了两个及以上的向量（相同的也算），并且使用了一些矢量运算公式，使得 nabla 算符 从括号内移至括号外（不指明作用对象的话，受到 nabla 算符作用的向量数量可能增加。从括号外移至括号内，则此时简单套用向量运算规则会导致作用对象发生转移，因此不能简单套用。</p> <h3 id="如何做">如何做？</h3> <p>只需要记住 nabla 算符有作用对象即可。可以通过加费曼脚标以标明，然后可依照向量运算规则。对于表达式中有向量相同的情况，先用不同符号代替区分，最 再将它们都代回原来的符号。当然，也可以直接采用张量和爱因斯坦求和约定，直接按照运算顺序一步步来，但也需要注意作用对象。</p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/03/sum/Tue, 12 Mar 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/03/sum/<p>今天刷电动力学的时候，作者用分离变量法解出了一个位势方程，并声称解“明显”由指数三角函数幂级数求和化简为arctan形式，为什么呢？</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/02/continous/Mon, 25 Feb 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/02/continous/<p>2019年春季赵亚溥老师《连续介质力学》课程所整理的笔记。</p> <p>完善度较低。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/phyexp/Tue, 22 Jan 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/phyexp/<h2 id="基础物理实验">基础物理实验</h2> <p>《基础物理实验》是中国科学院大学大二年级全体学生的一门必修课，已经有三年的历史。顾名思义， 它与其他在教室内听讲的课程不同，是一门需要动手操作的实验课。大家按照专业分为四组，分别在每周 一至周四的下午一点半至五点上课。于我而言是安排在每周二上课。</p> <p>当然，具体实验时间是依照个人实验进度决定的。若是完成得不顺利，则得留下来继续做；若是完成 得快，则依照老师要求可以在一定程度上早走。</p> <p>2018 年秋季的整门实验课程可分为四个阶段。首先是第一节课，对实验的背景、意义和一些知识作了 讲解。接着是为期四周的预科实验。因为实验室一次只能容纳七八人，所以在按专业分组的基础上，每天 上课的同学又分为几个小组，轮换进行三个预科实验，每周一次，另一周轮空。预科实验是两人一组合作 完成，不需要大量采集数据，只需要完成实验目标即可。实验报告也没有固定的格式、内容要求，更类似 于感想的形式。但是，整体已经具备了预习-听讲-实验-报告的流程，即在课前预习实验讲义，上课时先听 老师讲解，然后完成实验内容，并作记录（主要是拍照），课后撰写实验报告。</p> <p>第三阶段就是进行十个正式实验。仍然是分为几个小组，按照组别轮换进行实验。正式实验的流程与 预科实验相同，但是十个实验涵盖了力学、热学、电磁学、光学的知识，需要一定的数学物理知识对原理 进行分析。实验中也需要完成正确的步骤操作，采集到所需要的数据。一般预科实验三点多就可以做完， 但是正式实验往往要到四点半之后，可见其复杂性更胜一筹。在实验后，还需要撰写实验报告，在下周实 验时交给上一个助教，评分后再取回。实验报告需要用提供的模板，规定包含原理、目标、数据处理、作 图、思考题等等内容，但是对文风、编排顺序等没有硬性规定。有的老师还有特别要求（如手写）。课程成 绩有相当一部分由正式实验的实验报告的成绩决定。</p> <p>最后一阶段是正式实验结束后又附加的两个演示实验。演示实验的要求最低，顾名思义，只需要大致 预习，然后看着老师做就可以了。两个演示实验，每个只花了半小时。撰写的实验报告类似预科实验的要 求，但两个实验只需要合写一篇。正式实验中也穿插有演示实验，但是在正式实验的报告中无需写相关内 容，也不需要额外撰写报告（具体依照老师要求而定）。</p> <h2 id="教学的软硬件配置">教学的软硬件配置</h2> <p>教学楼大约有 10 个实验室，分别存有不同的实验仪器，承担着不同的实验任务。因此在上实验课时， 需要到对应的实验室去。实验室主要集中在七楼，有一个实验室在四楼。实验仪器则是从专门生产仪器厂 家订购的，普遍价格较高。经历了四年的“磨炼”，实验仪器们已经有不少损坏。有一些损坏可以通过设计 一定的实验操作绕过，另一些损坏则需要寻求老师帮助调换仪器。事实上，仪器的好坏也在一定程度上影 响着实验的顺利程度。</p> <p>对一个同学而言，一学期要上 13 节实验课。但是每周有四天，每天又有很多组，因此需要请很多助教 老师来上课。助教老师们主要是高能所、物理所、工热所的博士（或硕士，未知）。即使是同一个实验，不 同的助教老师也有不同的上课风格、报告要求、评分标准，但整体而言大多数都非常认真、友好耐心（只 要你听话）。</p> <h2 id="实验报告集">实验报告集</h2> <p>实验报告是对实验过程的分析、概括和总结。单凭实验报告，已经能了解实验的内容。但是，由于预 习环节的存在，实验讲义也是实验的一部分。因此，对于每一个实验，除了把撰写的报告，作图和原始数 据放在一起外，还需要整合老师给的讲义资料。这样，一方面完善了实验的信息，另一方面也能与报告进 行对比，了解是如何在讲义的基础上进行实验，对数据做了何种分析，又在实验过程中进行了什么变化， 如何回答讲义中提出的问题。</p> <p>至此，一个实验就按照讲义-报告-作图-数据的顺序整合完毕。接着是如何把这些实验排列起来。可以 按照实验讲义的顺序，也可以按照时间顺序。这里采用后一种顺序，因为按照时间的顺序，可以看到实验 报告的逐渐发展进步，更具有意义。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/fourier/Fri, 18 Jan 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/fourier/<p>期末考试用傅里叶变换解题 ut-4uxx-u=0，结果解了半天没解出来，下来一看变一下傅里叶变换应用的顺序竟然快这么多？</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/introeng/Wed, 16 Jan 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/introeng/<p>《工程科学概论》课程作业，找了一个简单问题研究了一下。</p> <p>着陆阶段垂直气流对无动力返回舱的影响， 并议空天往返运输系统伞降返回舱配备动力的必要性与注意点。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/mmop-review/Sun, 13 Jan 2019 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2019/01/mmop-review/<p>本复习讲义由庄逸为了复习数理方法期末考试而整理，转载请注明来源。 其中内容有不少参考了张波老师上课的讲义。时间紧迫，疏漏之处在所难免，敬请 谅解。</p> <p>第一版于 2019 年 1 月完成。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/11/mmop-review/Sun, 11 Nov 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/11/mmop-review/<p>又到了期中考试前夕，照例要写复习讲义。本讲义内容参考自张波老师的讲义和吴 崇试《数学物理方法》。大家可以自行保存食用，转载请注明来源，网址即可。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/11/centlimit/Mon, 05 Nov 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/11/centlimit/<p>2018.11.5，2018.11.7 庄逸在李启寨概统课及课下整理扩充。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/10/dct/Thu, 18 Oct 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/10/dct/<p>这个定理是在高中就发现的，并且逐渐也在三个排列组合的应用中嗅到了它的独特 价值和玄幻的内在含义。然而定理本身一直没有证明出来。直到一年多后有了一些经验 的积累，机缘巧合之下（上概率论与数理统计课）又翻起了这个定理并成功的将其证明。 证明的过程并不一帆风顺，关键部分还是靠猜出来的。这当然十分有意思，因此我把和 此定理相关的所有内容都写下来。先呈现完整的证明过程，再说一说其中的技巧是如何 想到的，接着再举出三个应用，最后探讨一下其中的原理。</p> <p>没错，定理名字又是我自己取的，因为我还没在什么资料上见过。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/09/epub/Fri, 28 Sep 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/09/epub/<p>已知：事件 A1, &hellip;, An 发生的概率分别为 p1, &hellip;, pn。记 p = p1 + · · · + pn</p> <p>求证：至少有 k 个事件发生的概率不大于 pk/k!</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/08/arrangeprob/Wed, 08 Aug 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/08/arrangeprob/<p>设有 N 个数，从 1, 2, &hellip;, N 中取值（可重复可不用）；它们按顺序排成一列，要求在出现 2 之前必须出现 1，在 3 之前必须出现 2，以此类推。试问共有多少种排列方式？</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/playlist/Tue, 07 Aug 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/playlist/<p>有这么一种音乐播放器，它有一个最近播放列表，其中总共能保存 n 首歌。当选择某一首歌曲播放时，播放器将删除最近播放列表中第 n 首歌，并将第 1 至第 n − 1 首歌向后移一个排位，最后将选择播放的歌曲放入第一个排位，得到新的最近播放列表。注意，同一首歌曲能在最近播放列表中出现多次。</p> <p>这个音乐播放器还有一种随机播放功能，即对一个有 n 首歌曲的播放列表，它能以每首歌 1/n 的概率抽取其中一首播放。重复的歌曲是单独计算的，即如果一首歌出现了m 次，总共就有 m/n 的概率播放这首歌。</p> <p>我们的问题是，假设最初最近播放列表中有 n 首不同的歌曲，现在对最近播放列表进行随机播放操作。那么经过多长时间（即多少次播放）之后，最近播放列表中会仅剩下一首歌？每一首歌被剩下的概率又是多少？如果初始情况不是每首歌只出现一次，又会怎样呢？</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/lanote/Sun, 15 Jul 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/lanote/<p>正如你们在本页顶端所见，这本讲义是我大一下学期（2017-2018 春季学期）在中国科 学院大学学习线性代数课程时整理的课堂讲义。根据我选择的班级，此门课程是由来自中科 院数学与系统科学研究院的李子明研究员主讲。李老师讲课认真细致，在课后还会将手写的 电子版课堂讲义上传以供大家复习使用。</p> <p>不过，手写版的讲义使用起来或多或少有一些不便。而我恰好有些 Word 输入公式和排 版的经验。有一次我为了防止在课上犯困，尝试着带上电脑，在课堂上将所讲的内容做成 Word 文档并导出成 PDF 格式，发现效果确实不错，不仅没有犯困，听课也更认真了。于 是，接下来直到期末我便利用课上的时间将课堂内容录成初稿，课下再对着李老师上传的电 子版讲义校对，同时修复了一些笔误，在步骤跳跃的地方补充了一些自己的理解。同时抽空 将本学期之前的内容也文档化，并征得李老师同意，将初步成品放在公众号上与大家分享。 在最后整理时，将出现的各定理等取了一句话描述的名字，并且在书末整理附上特殊符号 表。这些确实是艰辛枯燥的工作，但作为一种复习的方式，坚持下来也还是有不少收获。 同时值得一提的是线性代数课程配有每周一节的习题课。习题课分两个班，由助教老师 上课。我所上的习题课是由张秉宇老师主讲。张老师风趣幽默，数学功力深厚，讲评习题、 整理知识点、拓展内容对于学习线性代数都十分有价值，并且也很贴心地每周上传手写的电 子版习题课讲义。后来我认识到，习题课的内容也是线性代数课程不可或缺的一部分，习题 的解答与拓展和课堂所学内容相辅相成。因此，虽然原先计划是课堂讲义，但我认为还是应 当加入习题课的部分。于是，我在张老师的习题课讲义中选取了最有价值的一系列题目和知 识点，将其文档化并附在正课讲义的后面。</p> <p>将手写版讲义文档化之后，大约有以下几点好处： 1、支持搜索内容； 2、美观性、可读性加强； 3、消除了大部分电子讲义中的笔误； 4、占用的存储空间大大减小，翻阅也更方便； 当然，囿于本人时间精力和水平能力有限，也有以下一些不足与遗憾之处： 1、未能在目录及引用的各处添加超链接； 2、未能整理杜昊老师的习题课讲义； 3、由于时间较为仓促，可能有一些疏漏之处； 4、所取的定理等的名字可能有描述不到位的情况。 使用这本讲义的同学需要注意以下几点： 1、书中定理等的名字大部分是依我对这部分内容的理解而取而非李老师所取； 2、书中定理等的序号在尽量保持与原讲义相同的情况下作了调整以规范； 3、习题集选中题目的编号 A-B，A 为习题课的周次，注意与作业的次数区分，B 仅 为一次习题课中内容的编号，与实际的讲课顺序、习题顺序均无关； 4、虽然目录没有超链接，但是我整理了 PDF 的书签（或在一些软件中称为大纲）， 可以通过这一功能或通过目录的页码来进行快速跳转。</p> <p>最后，感谢李子明老师、张秉宇和杜昊两位助教老师一学期的辛勤付出，感谢所有为完 成这本讲义整理集提供各方面帮助的热心同学们。</p> <p>庄逸 2018 年 7 月 15 日</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/mareview/Sun, 01 Jul 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/07/mareview/<p>矢量分析，曲线和曲面积分，极限过渡</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/06/pdeintro/Wed, 27 Jun 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/06/pdeintro/<p>《大学写作》课程作业，应该是要我们自选介绍一个新概念。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/05/artofsum/Tue, 22 May 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/05/artofsum/<p>关于求和记号Σ的基本定义，性质的（比较严格的）展开讨论。</p> <p>是在我自己写的东西里面非常喜欢的一篇，把基础定义写明白了，各种定理就会自己往上发展出来。这一篇后来想用更严格的方式重新写一遍，但是可惜后来没有动笔。在那一套体系下，Σ被定义为一个集合M，一个从集合M到群G的函数和群G上的某一种运算的三元组到一个数的映射。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/reviewla/Tue, 23 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/reviewla/<p>稍微整理的一些大一上下半学期线性代数复习知识。</p> <p>求证：𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥3 + 1 在 Q[𝑥]中不可约。</p> <p>求证：Z[√−2] = {𝑎 + 𝑏√−2|𝑎, 𝑏 ∈ Z}是欧几里得环。</p> <p>设𝐺为有限群，有二阶自同构𝑓（𝑓2为恒等映射），没有非平凡的不动点，即𝑎 ≠ 𝑒 ⇒ 𝑓(𝑎) ≠ 𝑎，证明𝐺为阿贝尔群。</p> <p>设𝐹是𝐾的扩域，𝑢 ∈ 𝐹且𝑢是𝐾上的代数元，求证𝐹[𝑢]是域。</p> <p>凯莱定理，环和整环的关系，拉格朗日/牛顿插值公式，斯图姆定理，艾森斯坦既约性判别法，霍纳法。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/partint/Mon, 15 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/partint/<p>已知f(x)=(∫1 to x)e^t2 dt，求(∫0 to 1)f(x)dx</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/xuanshang/Mon, 08 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/xuanshang/<p>最早是在公众号上发我感兴趣的问题，看看有没有人能解答的，后来开摆了。包括以下几个问题</p> <ol> <li>证明幂可以线性表达阶乘（已有解）</li> <li>证明第二类斯特林数矩阵的右上角均为零</li> <li>倒数的对称多项式之和如何表达？（已有解）</li> <li>证明下降多项式的二项式定理</li> <li>找方程f(f(x))=x^2+x的解</li> <li>为了提高经济效益，某商场设置了一台抽奖机器，规则如下：（1）每一次抽奖的初始中奖概率为零。（2）每投入一个币，当次中奖概率就增加 α。（3）一个人抽奖的次数和硬币数不限，机器能吞的硬币不限。为了省钱，是否有合理的投币策略？（直觉上倾向于都一样，但是还没证明）</li> </ol> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/sinincomp/Sun, 07 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/sinincomp/<p>已知 𝑧 ∈ 𝐂且 |𝑧| ≤ 1, 求|sin 𝑧|的最大值。</p> <p> </p>https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/hospforlimit/Fri, 05 Jan 2018 00:00:00 +0000https://vortexer99.github.io/posts/2018/01/hospforlimit/<p>设 0 &lt; 𝑥1 &lt; 1, 𝑥𝑛+1 = sin 𝑥𝑛，证明： lim 𝑛→∞ √𝑛 𝑥𝑛 =√3</p> <p> </p>